Valeur Moyenne À Risque Exponentielle

Exploration de la moyenne mobile exponentiellement pondérée La volatilité est la mesure la plus courante de risque, mais il est disponible en plusieurs saveurs. Dans un article précédent, nous avons montré comment calculer la volatilité historique simple. Nous avons utilisé les données réelles sur les actions de Googles afin de calculer la volatilité quotidienne basée sur 30 jours de données sur les actions. Dans cet article, nous améliorerons la volatilité simple et discuterons de la moyenne mobile exponentiellement pondérée (EWMA). Historique vs. Volatilité implicite Tout d'abord, mettons cette métrique dans un peu de perspective. Il existe deux grandes approches: la volatilité historique et implicite (ou implicite). L'approche historique suppose que le passé est prologue, nous mesurons l'histoire dans l'espoir qu'elle est prédictive. La volatilité implicite, d'autre part, ignore l'histoire qu'elle résout pour la volatilité impliquée par les prix du marché. Elle espère que le marché le sait mieux et que le prix du marché contient, même implicitement, une estimation de la volatilité. Si l'on se concentre uniquement sur les trois approches historiques (à gauche ci-dessus), elles ont deux étapes en commun: Calculer la série de retours périodiques Appliquer un schéma de pondération D'abord, nous Calculer le rendement périodique. C'est généralement une série de rendements quotidiens où chaque retour est exprimé en termes continuellement composés. Pour chaque jour, nous prenons le log naturel du ratio des cours des actions (c'est-à-dire le prix aujourd'hui divisé par le prix hier, etc.). Cela produit une série de rendements quotidiens, de u i à u i-m. Selon le nombre de jours (m jours) que nous mesurons. Cela nous amène à la deuxième étape: c'est là que les trois approches diffèrent. Dans l'article précédent (Utilisation de la volatilité pour mesurer le risque futur), nous avons montré que, sous quelques simplifications acceptables, la variance simple est la moyenne des rendements au carré: Notez que ceci récapitule chacun des rendements périodiques, puis divise ce total par Nombre de jours ou observations (m). Donc, c'est vraiment juste une moyenne des rendements périodiques au carré. Autrement dit, chaque retour au carré reçoit un poids égal. Ainsi, si l'alpha (a) est un facteur de pondération (spécifiquement, un 1m), alors une variance simple ressemble à ceci: L'EWMA améliore la variance simple La faiblesse de cette approche est que tous les retours gagnent le même poids. Le retour hier (très récent) n'a plus d'influence sur la variance que le rendement des derniers mois. Ce problème est résolu en utilisant la moyenne mobile exponentiellement pondérée (EWMA), dans laquelle les rendements plus récents ont un poids plus important sur la variance. La moyenne mobile exponentiellement pondérée (EWMA) introduit lambda. Qui est appelé le paramètre de lissage. Lambda doit être inférieur à un. Sous cette condition, au lieu de pondérations égales, chaque rendement au carré est pondéré par un multiplicateur comme suit: Par exemple, RiskMetrics TM, une société de gestion des risques financiers, a tendance à utiliser un lambda de 0,94 ou 94. Dans ce cas, le premier La plus récente) le rendement périodique au carré est pondéré par (1-0.94) (. 94) 0 6. Le prochain rendement au carré est simplement un multiple lambda du poids antérieur dans ce cas 6 multiplié par 94 5.64. Et le troisième jour antérieur, le poids est égal à (1-0,94) (0,94) 2 5,30. C'est le sens de l'exponentielle dans EWMA: chaque poids est un multiplicateur constant (c'est-à-dire lambda, qui doit être inférieur à un) du poids des jours précédents. Cela garantit une variance pondérée ou biaisée vers des données plus récentes. (Pour en savoir plus, consultez la feuille de calcul Excel pour la volatilité de Googles.) La différence entre la volatilité et l'EWMA pour Google est illustrée ci-dessous. La volatilité simple pèse efficacement chaque rendement périodique de 0.196 comme indiqué dans la colonne O (nous avions deux années de données quotidiennes sur les cours des actions, soit 509 déclarations quotidiennes et 1509 0.196). Mais notez que la colonne P attribue un poids de 6, puis 5.64, puis 5.3 et ainsi de suite. C'est la seule différence entre la variance simple et EWMA. Rappelez-vous: Après avoir additionné toute la série (dans la colonne Q), nous avons la variance, qui est le carré de l'écart-type. Si nous voulons la volatilité, nous devons nous rappeler de prendre la racine carrée de cette variance. Quelle est la différence entre la volatilité quotidienne entre la variance et l'EWMA dans l'affaire Googles? Sa significative: La variance simple nous a donné une volatilité quotidienne de 2,4 mais l'EWMA a donné une volatilité quotidienne de seulement 1,4 (voir la feuille de calcul pour plus de détails). Apparemment, la volatilité de Googles s'est installée plus récemment donc, une simple variance pourrait être artificiellement élevée. La variation d'aujourd'hui est une fonction de la variation des jours Pior Vous remarquerez que nous devions calculer une longue série de poids exponentiellement en déclin. Nous ne ferons pas les calculs ici, mais l'une des meilleures caractéristiques de l'EWMA est que la série entière se réduit commodément à une formule récursive: Recursive signifie que les références de variance d'aujourd'hui (c'est-à-dire une fonction de la variance des jours précédents). Vous pouvez trouver cette formule dans la feuille de calcul aussi, et il produit exactement le même résultat que le calcul longhand Il dit: variance Todays (sous EWMA) est égale à la variance hiers (pondérée par lambda) plus le retour hier au carré (pesé par un lambda de moins). Remarquez comment nous ajoutons simplement deux termes ensemble: la variance pondérée d'hier et la pondération pondérée hier, au carré. Même si, lambda est notre paramètre de lissage. Un lambda plus élevé (par exemple, comme RiskMetrics 94) indique une diminution plus lente dans la série - en termes relatifs, nous allons avoir plus de points de données dans la série et ils vont tomber plus lentement. En revanche, si l'on réduit le lambda, on indique une décroissance plus élevée: les poids diminuent plus rapidement et, en résultat direct de la décroissance rapide, on utilise moins de points de données. (Dans la feuille de calcul, lambda est une entrée, donc vous pouvez expérimenter avec sa sensibilité). Résumé La volatilité est l'écart-type instantané d'un stock et métrique de risque le plus courant. C'est aussi la racine carrée de la variance. Nous pouvons mesurer la variance historiquement ou implicitement (volatilité implicite). Lors de la mesure historique, la méthode la plus simple est la variance simple. Mais la faiblesse avec la variance simple est tous les retours obtenir le même poids. Nous sommes donc confrontés à un compromis classique: nous voulons toujours plus de données, mais plus nous avons de données, plus notre calcul est dilué par des données distantes (moins pertinentes). La moyenne mobile pondérée exponentiellement (EWMA) améliore la variance simple en attribuant des pondérations aux rendements périodiques. En faisant cela, nous pouvons à la fois utiliser une grande taille de l'échantillon, mais aussi donner plus de poids aux rendements plus récents. (Pour voir un film tutoriel sur ce sujet, visitez le Bionic Turtle.) Une ronde de financement où les investisseurs achètent des actions d'une entreprise à une valeur inférieure à l'évaluation faite sur le. Un raccourci pour estimer le nombre d'années nécessaires pour doubler votre argent à un taux annuel donné de rendement (voir annuel composé.) Le taux d'intérêt appliqué à un prêt ou réalisé sur un investissement sur une période de temps spécifique. Les CDO ne se spécialisent pas dans un type de dette: l'année au cours de laquelle le premier afflux de capitaux d'investissement est livré à un projet ou une entreprise. Léonard Fibonacci est un mathématicien italien né au XIIe siècle, dont on sait qu'il a découvert les numéros de Fibonacci.7.3.7 Moyenne mobile exponentiellement pondérée (EWMA) 7.3.7 Moyenne mobile exponentiellement pondérée Pour concilier les hypothèses de moyenne mobile pondérée uniformément (UWMA) avec les réalités de l'hétéroscédasticité du marché, on pourrait appliquer l'estimateur 7.10 uniquement aux données historiques les plus récentes tq qui devraient refléter le mieux les conditions actuelles du marché, car l'application de l'estimateur 7.10 à une petite quantité Des données augmente son erreur standard. Par conséquent, UWMA implique un dilemme: l'appliquer à un grand nombre de données est mauvais, mais il est donc l'appliquer à un peu de données. Ceci a motivé Zangari (1994) à proposer une modification de l'UWMA appelée estimation de la moyenne mobile pondérée exponentiellement (EWMA). Ceci applique une pondération non uniforme aux données de séries chronologiques, de sorte que beaucoup de données peuvent être utilisées mais les données récentes sont pondérées plus lourdement . Comme le nom l'indique, les poids sont basés sur la fonction exponentielle. L'estimation de la moyenne mobile pondérée exponentiellement remplace l'estimateur 7.10 par un facteur de décroissance généralement attribué à une valeur comprise entre 0,95 et 0,99. Les facteurs de désintégration plus faibles ont tendance à pondérer plus fortement les données récentes. Notez que l'estimation de la moyenne mobile pondérée exponentiellement est largement utilisée, mais c'est une amélioration modeste par rapport à l'UWMA. Elle n'essaie pas de modéliser l'hétéroscédasticité conditionnelle du marché, pas plus que l'UWMA. Son schéma de pondération remplace le dilemme de la quantité de données à utiliser avec un dilemme similaire quant à la façon agressive d'un facteur de désintégration à utiliser. Envisager à nouveau la pièce 7.6 et notre exemple de la position de 10MM USD est SGD. Estimons 10 1 en utilisant l'estimateur de la moyenne mobile pondérée exponentiellement 7.20. Si nous utilisons .99, nous obtenons une estimation pour 10 1 de 0,0054. Si l'on utilise .95, on obtient une estimation de 0,0067. Ceux-ci correspondent à la position valeur-à-risque des résultats de USD 89.000 et USD 110.000, respectivement. La pièce 7.7 indique 30 jours de données pour le Libor de CHF à 1 mois. Pièce 7.7: Données pour le Libor de CHF à 1 mois. Les taux sont exprimés en pourcentages. Source: British Bankers Association (BBA).